Analysis Beispiele

$- \sqrt{1 - x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \sqrt{1 - y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{1 - y} = x$ um.

$- \sqrt{1 - y} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{1 - y} = x$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{1 - y} = x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{1 - y}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{1 - y}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\sqrt{1 - y}$ durch $1$ .

$\sqrt{1 - y} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{1 - y} = - 1 \cdot x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sqrt{1 - y} = - x$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - y}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - y}$ als ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - y)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$1 - y = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$1 - y = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - y = 1 x^{2}$

Schritt 2.4.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$1 - y = x^{2}$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = x^{2} - 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = x^{2} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = x^{2} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y = - x^{2} + 1$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 1$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \sqrt{1 - x}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \sqrt{1 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - {(- \sqrt{1 - x})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{1 - x}$ an.

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{1 - x}}^{2}) + 1$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{1 - x}}^{2}) + 1$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{1 - x}}^{2}) + 1$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{1 - x}}^{2} + 1$

Schritt 4.2.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{1 - x}}^{2} + 1$

Schritt 4.2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - {\sqrt{1 - x}}^{2} + 1$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe ${\sqrt{1 - x}}^{2}$ als $1 - x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Schritt 4.2.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - {(1 - x)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 4.2.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - {(1 - x)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 4.2.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - (1 - x) + 1$

Schritt 4.2.3.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - (1 - x) + 1$

Schritt 4.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - 1 \cdot 1 + x + 1$

Schritt 4.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - 1 + x + 1$

Schritt 4.2.3.7

Multipliziere $- - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - 1 + 1 x + 1$

Schritt 4.2.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = - 1 + x + 1$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{1 - x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- x^{2} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- x^{2} + 1) = - \sqrt{1 - (- x^{2} + 1)}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- x^{2} + 1) = - \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- x^{2} + 1) = - \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Schritt 4.3.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- x^{2} + 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 4.3.6

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (- x^{2} + 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- x^{2} + 1) = - x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \sqrt{1 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 1$