Analysis Beispiele

$(x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $(x^{2} + 12) (144 - x^{2})$ als Funktion.

$f (x) = (x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 12$ und $g (x) = 144 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [144 - x^{2}] + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $144 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Schritt 2.1.2.2

Da $144$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $144$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Schritt 2.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 12) (- (2 x)) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Schritt 2.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

Schritt 2.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Schritt 2.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Schritt 2.1.2.9

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x + 0)$

Schritt 2.1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x)$

Schritt 2.1.2.10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $144 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot (144 - x^{2}) x$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (144 - x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 144 + 2 (- x^{2})) x$

Schritt 2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.3.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.4.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $144$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 2.1.3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{2} x$

Schritt 2.1.3.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 (x^{1} x^{2})$

Schritt 2.1.3.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{1 + 2}$

Schritt 2.1.3.4.8

Addiere $1$ und $2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{3}$

Schritt 2.1.3.4.9

Addiere $- 24 x$ und $288 x$ .

$- 2 x^{3} + 264 x - 2 x^{3}$

Schritt 2.1.3.4.10

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 264 x$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 x^{3} + 264 x$ .

$- 4 x^{3} + 264 x$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 x^{3} + 264 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 4 x^{3} + 264 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} + 264 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} + 264 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $264 x$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 66 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 66)$ heraus.

$- 4 x (x^{2} - 66) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 66 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x^{2} - 66$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x^{2} - 66$ gleich $0$ .

$x^{2} - 66 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $x^{2} - 66 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $66$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 66$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{66}$

Schritt 3.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{66}$

Schritt 3.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{66}$

Schritt 3.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x (x^{2} - 66) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$ .

$0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{66}) \cup (- \sqrt{66}, 0) \cup (0, \sqrt{66}) \cup (\sqrt{66}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{66})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9.124039$ .

$f' (- 9.124039) = - 4 {(- 9.124039)}^{3} + 264 (- 9.124039)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 9.124039$ mit $3$ .

$f' (- 9.124039) = - 4 \cdot - 759.5587986 + 264 (- 9.124039)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 759.5587986$ .

$f' (- 9.124039) = 3038.23519443 + 264 (- 9.124039)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $264$ mit $- 9.124039$ .

$f' (- 9.124039) = 3038.23519443 - 2408.746296$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2408.746296$ von $3038.23519443$ .

$f' (- 9.124039) = 629.48889843$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $629.48889843$ .

$629.48889843$

Schritt 6.3

Bei $x = - 9.124039$ ist die Ableitung $629.48889843$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \sqrt{66})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{66})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 8.124039, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.0620195$ .

$f' (- 4.0620195) = - 4 {(- 4.0620195)}^{3} + 264 (- 4.0620195)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 4.0620195$ mit $3$ .

$f' (- 4.0620195) = - 4 \cdot - 67.02333157 + 264 (- 4.0620195)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 67.02333157$ .

$f' (- 4.0620195) = 268.09332629 + 264 (- 4.0620195)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $264$ mit $- 4.0620195$ .

$f' (- 4.0620195) = 268.09332629 - 1072.373148$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $1072.373148$ von $268.09332629$ .

$f' (- 4.0620195) = - 804.2798217$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 804.2798217$ .

$- 804.2798217$

Schritt 7.3

Bei $x = - 4.0620195$ ist die Ableitung $- 804.2798217$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 8.124039, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \sqrt{66}, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{66})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.0620195$ .

$f' (4.0620195) = - 4 {(4.0620195)}^{3} + 264 (4.0620195)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $4.0620195$ mit $3$ .

$f' (4.0620195) = - 4 \cdot 67.02333157 + 264 (4.0620195)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $67.02333157$ .

$f' (4.0620195) = - 268.09332629 + 264 (4.0620195)$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $264$ mit $4.0620195$ .

$f' (4.0620195) = - 268.09332629 + 1072.373148$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 268.09332629$ und $1072.373148$ .

$f' (4.0620195) = 804.2798217$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $804.2798217$ .

$804.2798217$

Schritt 8.3

Bei $x = 4.0620195$ ist die Ableitung $804.2798217$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \sqrt{66})$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \sqrt{66})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{66}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9.124039$ .

$f' (9.124039) = - 4 {(9.124039)}^{3} + 264 (9.124039)$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $9.124039$ mit $3$ .

$f' (9.124039) = - 4 \cdot 759.5587986 + 264 (9.124039)$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $759.5587986$ .

$f' (9.124039) = - 3038.23519443 + 264 (9.124039)$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $264$ mit $9.124039$ .

$f' (9.124039) = - 3038.23519443 + 2408.746296$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 3038.23519443$ und $2408.746296$ .

$f' (9.124039) = - 629.48889843$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 629.48889843$ .

$- 629.48889843$

Schritt 9.3

Bei $x = 9.124039$ ist die Ableitung $- 629.48889843$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\sqrt{66}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\sqrt{66}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \sqrt{66}), (0, \sqrt{66})$

Abfallend im Intervall: $(- \sqrt{66}, 0), (\sqrt{66}, \infty)$

Schritt 11