Analysis Beispiele

$\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $16 x^{2} - 9$ mit $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.7

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + 0)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.8.1

Addiere $32 x$ und $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.8.2

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x \cdot x}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x^{1})}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{1 + 1}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{2}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.8

Subtrahiere $32 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$2 \frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 16 x^{2} - 9)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 16 x^{2}) + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$\frac{- 32 x^{2} + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x^{2} - 18}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 32 x^{2} - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + 0) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.7

Addiere $- 64 x$ und $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 u \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 (16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + 0))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.7.1

Addiere $32 x$ und $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.7.2

Bringe $32$ auf die linke Seite von $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) (32 \cdot (16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4.7.3

Mutltipliziere $32$ mit $- 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 64 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 64 {(16 x^{2} - 9)}^{2} x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.2

Schreibe ${(16 x^{2} - 9)}^{2}$ als $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ um.

$\frac{- 64 ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3

Multipliziere $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2} - 9) - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2} x^{2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 (x^{2} x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2 + 2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $16$ mit $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $144 x^{2}$ von $- 144 x^{2}$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 288 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 64 (256 x^{4}) - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $256$ mit $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 288$ mit $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.6.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $81$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 5184) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16384 x^{4} x + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 16384 (x \cdot x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 16384 (x^{1} x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 16384 x^{1 + 4} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x \cdot x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x^{1} x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{1 + 2} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 64$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 18$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.10.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x \cdot x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.1.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x^{1} x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{1 + 2} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11

Multipliziere $(2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3} - 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.12.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{2} x^{3} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.12.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 (x^{3} x^{2}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{3 + 2} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.3

Mutltipliziere $2048$ mit $16$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{2} x + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.12.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x \cdot x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.1.12.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x^{1} x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{1 + 2} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.6

Mutltipliziere $2048$ mit $- 9$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.7

Mutltipliziere $16$ mit $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.8

Mutltipliziere $- 9$ mit $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.2

Addiere $- 18432 x^{3}$ und $18432 x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 0 - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.3

Addiere $32768 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $- 16384 x^{5}$ und $32768 x^{5}$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.3

Subtrahiere $10368 x$ von $- 5184 x$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere $64 x$ aus $16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1.1

Faktorisiere $64 x$ aus $16384 x^{5}$ heraus.

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.2

Faktorisiere $64 x$ aus $18432 x^{3}$ heraus.

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.3

Faktorisiere $64 x$ aus $- 15552 x$ heraus.

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.4

Faktorisiere $64 x$ aus $64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2})$ heraus.

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.5

Faktorisiere $64 x$ aus $64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)$ heraus.

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{64 x (256 {(x^{2})}^{2} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 256 \cdot - 243 = - 62208$ und deren Summe gleich $b = 288$ ist.

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Schritt 2.5.4.4.1.1

Faktorisiere $288$ aus $288 u$ heraus.

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 (u) - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.1.2

Schreibe $288$ um als $- 144$ plus $432$

$\frac{64 x (256 u^{2} + (- 144 + 432) u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 x (256 u^{2} - 144 u + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{64 x ((256 u^{2} - 144 u) + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{64 x (16 u (16 u - 9) + 27 (16 u - 9))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $16 u - 9$ .

$\frac{64 x ((16 u - 9) (16 u + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{64 x ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.6

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 3^{2}) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.5.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Schritt 2.5.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{((4 x + 3) (4 x - 3))}^{4}}$

Schritt 2.5.5.4

Wende die Produktregel auf $(4 x + 3) (4 x - 3)$ an.

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x + 3$ und ${(4 x + 3)}^{4}$ .

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Schritt 2.5.6.1

Faktorisiere $4 x + 3$ aus $64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)$ heraus.

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.6.2.1

Faktorisiere $4 x + 3$ aus ${(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}$ heraus.

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Schritt 2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Schritt 2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 3$ und ${(4 x - 3)}^{4}$ .

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Schritt 2.5.7.1

Faktorisiere $4 x - 3$ aus $(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)$ heraus.

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.7.2.1

Faktorisiere $4 x - 3$ aus ${(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}$ heraus.

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Schritt 2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Schritt 2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(64 x) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{64 x (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$