Analysis Beispiele

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2} d x$

Schritt 6

Multipliziere $(x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int x + 2 - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.10

Bewege $2$ .

$\int x - 4 x^{- 2} + 2 d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Schritt 12.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$