Analysis Beispiele

$5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$5 (\tan (x) + C) + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} \int \sqrt{x} d x$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$5 \tan (x) - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$5 \tan (x) - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$5 \tan (x) - \frac{6}{3 \cdot 2} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 \tan (x) - \frac{6}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 10.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \tan (x) - \frac{6}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \tan (x) - 1 \cdot 1 x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 \tan (x) - x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $5 \tan (x) - x^{\frac{3}{2}} + C$