Analysis Beispiele

$x^{2} \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{2} \sin (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Schritt 9

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Schreibe $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ als $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ um.

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{2} \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$