Analysis Beispiele

$(8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Schritt 1

Schreibe $(8 x^{3}) e^{x^{4}}$ als Funktion.

$f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (8 x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Schritt 4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int (x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$8 \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{1}$ .

$8 \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{u_{1}}{2}$ und $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 9

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 9.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 10

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$2 (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$2 e^{u_{2}} + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{2}$ .

$2 e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$