Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Schritt 3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Schritt 3.6.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 3.7

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + 0}$

Schritt 3.8

Addiere $15$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $15$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (2)}{15}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{5}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $\frac{2}{5}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2}{5}$