Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Schritt 1.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $3$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 1.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $3$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Schritt 1.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Schritt 1.3.2

Da die Funktion $e^{5 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $2$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 1.3.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $2$ entfernt.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Schritt 1.3.2.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

Schritt 1.3.3

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 2 e^{5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Schritt 3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

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Schritt 3.6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{5 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.6.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 3.6.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 3.6.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 3.6.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 3.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Schritt 3.6.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

Schritt 3.6.7

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

Schritt 3.7

Addiere $0$ und $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{5 x}$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $3 e^{x}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $10 e^{5 x}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{3}{10}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

Schritt 5

Da der Exponent $- 4 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 4 x}$ $0$ an.

$\frac{3}{10} \cdot 0$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $0$ .

$0$