Analysis Beispiele

$\sum_{j = 1}^{4} {(2 i j + 8 j)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${(2 i j + 8 j)}^{2}$ als $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ um.

$(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i j (2 i j + 8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 i \cdot 2 i j \cdot j + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $j$ mit $j$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $j$ .

$2 i \cdot 2 i (j \cdot j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $j$ mit $j$ .

$2 i \cdot 2 i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 i i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $4 i i$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.4.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$4 (i^{1} i) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$4 (i^{1} i^{1}) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 i^{1 + 1} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j \cdot j + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.6

Multipliziere $j$ mit $j$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.6.1

Bewege $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 (j \cdot j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.6.2

Mutltipliziere $j$ mit $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j \cdot j + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.9

Multipliziere $j$ mit $j$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.9.1

Bewege $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i (j \cdot j) + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.9.2

Mutltipliziere $j$ mit $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.10

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Schritt 1.3.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j \cdot j$

Schritt 1.3.1.12

Multipliziere $j$ mit $j$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.12.1

Bewege $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 (j \cdot j)$

Schritt 1.3.1.12.2

Mutltipliziere $j$ mit $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j^{2}$

Schritt 1.3.1.13

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 64 j^{2}$

Schritt 1.3.2

Addiere $16 i j^{2}$ und $16 i j^{2}$ .

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$

Schritt 1.4

Stelle die Faktoren in $4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$ um.

$4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe die Summe um.

$\sum_{j = 1}^{4} 4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Schritt 2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $j$ .

$4 \cdot 1^{2} i^{2} + 32 \cdot 1^{2} i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} i^{2} + 32 \cdot 2^{2} i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3^{2} i^{2} + 32 \cdot 3^{2} i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 4^{2} i^{2} + 32 \cdot 4^{2} i + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3

Rücksubstituiere die Werte und vereinfache $4 \cdot (1^{2} i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot (1 i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.3

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$4 \cdot - 1 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 + 32 \cdot (1 i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$- 4 + 32 \cdot i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 + 32 i + 64 \cdot 1 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 \cdot - 1) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.11

Multipliziere $4 (4 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot - 4 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (4 i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 4 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.15

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.16

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 \cdot - 1) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.18

Multipliziere $4 (9 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.18.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot - 9 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.18.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.19

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (9 i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.20

Mutltipliziere $9$ mit $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.21

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 9 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.22

Mutltipliziere $64$ mit $9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.23

Multipliziere $4$ mit $4^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.23.1

Bewege $4^{2}$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.23.2

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.23.2.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4^{1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.23.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2 + 1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.23.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{3} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.24

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.25

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot - 1 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.26

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.27

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (16 i) + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.28

Mutltipliziere $16$ mit $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 4^{2}$

Schritt 3.1.29

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 16$

Schritt 3.1.30

Mutltipliziere $64$ mit $16$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Addiere $- 4$ und $64$ .

$60 + 32 i - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $60$ .

$44 + 32 i + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $44$ und $256$ .

$300 + 32 i + 128 i - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere $36$ von $300$ .

$264 + 32 i + 128 i + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Schritt 3.2.2.4

Addiere $264$ und $576$ .

$840 + 32 i + 128 i + 288 i - 64 + 512 i + 1024$

Schritt 3.2.2.5

Subtrahiere $64$ von $840$ .

$776 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i + 1024$

Schritt 3.2.2.6

Addiere $776$ und $1024$ .

$1800 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i$

Schritt 3.2.3

Addiere $32 i$ und $128 i$ .

$1800 + 160 i + 288 i + 512 i$

Schritt 3.2.4

Addiere $160 i$ und $288 i$ .

$1800 + 448 i + 512 i$

Schritt 3.2.5

Addiere $448 i$ und $512 i$ .

$1800 + 960 i$