Analysis Beispiele

$y = (x - 5) (x + 3) (x + 4)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = (x - 5) (x + 3)$ und $g (x) = x + 4$ .

$(x - 5) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 5) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Schritt 1.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 5) (x + 3) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 5$ und $g (x) = x + 3$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.4.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + 0))$

Schritt 1.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \cdot 1)$

Schritt 1.4.8.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + x + 3)$

Schritt 1.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 5 + 3)$

Schritt 1.4.8.4

Addiere $- 5$ und $3$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 2)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 5) x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 5 x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Schritt 1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Schritt 1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Schritt 1.5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.7.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 \cdot x - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$x^{2} - 5 x + 3 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.7

Addiere $- 5 x$ und $3 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x^{1}) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{1 + 1} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.11

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.12

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.13

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 \cdot x + 4 \cdot - 2$

Schritt 1.5.7.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 x - 8$

Schritt 1.5.7.15

Subtrahiere $2 x$ von $8 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 6 x - 8$

Schritt 1.5.7.16

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x - 15 + 6 x - 8$

Schritt 1.5.7.17

Addiere $- 2 x$ und $6 x$ .

$3 x^{2} + 4 x - 15 - 8$

Schritt 1.5.7.18

Subtrahiere $8$ von $- 15$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 23$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 4 x - 23$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 23$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 23$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$f''' (x) = 6$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$