Analysis Beispiele

$y = 3 x \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$3 (1 + \ln (x))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 3 \ln (x)$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 3 \ln (x) + 3$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \ln (x) + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{x} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{3}{x}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{x}$