Analysis Beispiele

$f (x) = 3 e^{- x^{4}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{- x^{4}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{4}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{4}$ .

$3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

Schritt 1.3.4.2

Stelle die Faktoren in $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ um.

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$- 12 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}] + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{4}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{4}$ .

$- 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{4}$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.5

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.5.3

Addiere $3$ und $3$ .

$- 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.6

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $e^{- x^{4}}$ .

$- 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Schritt 2.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.8.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Schritt 2.8.3

Stelle die Terme um.

$48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Schritt 2.8.4

Stelle die Faktoren in $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ um.

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$ .

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$