Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, π]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 3.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 3.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 3.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(0, π)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(0, π)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(0, π)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(0, π)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[0, π]$ und differenzierbar im Intervall $(0, π)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, π]$ und differenzierbar im Intervall $(0, π)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[0, π]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Schritt 7.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 8

Löse $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

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Schritt 8.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Schritt 8.3.1.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Schritt 8.3.1.2.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Schritt 8.3.1.3

Dividiere $0$ durch $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 8.4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.1

Ersetze die $- 4 \sin^{2} (x)$ durch $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 8.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 8.4.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 8.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 8.4.3

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 8.4.4

Stelle das Polynom um.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Schritt 8.4.5

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Schritt 8.4.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 u^{2} + 2 u - 2$ heraus.

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Schritt 8.4.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 u^{2}$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Schritt 8.4.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Schritt 8.4.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Schritt 8.4.6.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 u^{2}) + 2 u$ heraus.

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 8.4.6.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Schritt 8.4.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.4.6.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.4.6.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 8.4.6.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Schritt 8.4.6.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Schritt 8.4.6.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 8.4.6.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.4.6.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 8.4.6.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Schritt 8.4.6.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Schritt 8.4.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 8.4.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 8.4.8

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.4.8.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 8.4.8.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 8.4.8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 8.4.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.8.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.9

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.4.9.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 8.4.9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 8.4.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 8.4.11

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 8.4.12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Schritt 8.4.13

Löse in $\cos (x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.13.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 8.4.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.13.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 8.4.13.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 8.4.13.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 8.4.13.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.4.13.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.4.13.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.4.13.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.4.13.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.13.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 8.4.13.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8.4.13.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.4.13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.4.13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.4.13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4.13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.4.13.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.4.14

Löse in $\cos (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.14.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 8.4.14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.14.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 8.4.14.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 8.4.14.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 8.4.14.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.4.14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.4.14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.4.14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4.14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.4.14.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.4.15

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.4.16

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = π$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = π$ verläuft

Schritt 10