Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{\sqrt[3]{t}}{t - 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \sqrt[3]{t}$ und $g (t) = t - 3$ .

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 11

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + 0)}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 12

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Bringe $t^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{- \frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.5

Schreibe $- 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ als $- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ um.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.2

Kombinieren.

$\frac{3 (\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Um $t^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.3.1

Multipliziere $t^{\frac{1}{3}}$ mit $t^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{1 + 2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.3.1.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{\frac{t^{1} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.3.2

Vereinfache $t^{1}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.4

Um $- 3 \sqrt[3]{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.5

Kombiniere $- 3 \sqrt[3]{t}$ und $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.7.1

Multipliziere $- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.7.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{1}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7.2

Vereinfache.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.4.7.3

Subtrahiere $3 t$ von $t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}} (3 {(t - 3)}^{2})}$

Schritt 13.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{3 \cdot t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{- (2 t) - 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.11

Schreibe $- (2 t + 3)$ als $- 1 (2 t + 3)$ um.

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 13.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 t + 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$