Analysis Beispiele

$- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Schritt 1

Schreibe $- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ als Funktion.

$f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.1.1.1.2

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.1.1.1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.1.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$- 81 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.1.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.1.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.1.1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 2.1.1.1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 5$ .

$- 81 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.8

Kombiniere ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.9.1

Bringe ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 81$ .

$81 (\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.1.10

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ und $81$ .

$\frac{81}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.1.11

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.1.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 27}{3 ({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.1.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.1.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.1.1.15

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 2.1.1.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.16.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.16.2

Mutltipliziere $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.2.1.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ als ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ um.

$27 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 2.1.2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Schritt 2.1.2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 5$ .

$27 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 4$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.8

Kombiniere ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ und $\frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.9.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$27 (- \frac{4 \cdot {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.9.2

Bringe ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$- 27 (\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Schritt 2.1.2.10

Kombiniere $\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ und $- 27$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$\frac{- 108}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $- 108$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 ({(x + 5)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.1.2.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.1.2.17

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 2.1.2.18

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.18.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Schritt 2.1.2.18.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$36 = 0$

Schritt 2.2.3

Da $36 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x + 5} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 5 = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 5}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{((- 8) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Addiere $- 8$ und $5$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 5)$ konvex, weil $f'' (- 8)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{{((0) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Addiere $0$ und $5$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 5, \infty)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 5, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 5, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8