Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} \ln (x)$ , $y = 12 \ln (x)$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} \ln (x^{3}) = \ln (x^{12})$

Schritt 1.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 1, 2$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Schritt 1.3.2

Setze $1$ für $x$ in $y = \ln ({(1)}^{12})$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (1^{12})$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache $\ln ({(1)}^{12})$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \ln (1)$

Schritt 1.3.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Schritt 1.4.2

Setze $2$ für $x$ in $y = \ln ({(2)}^{12})$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (2^{12})$

Schritt 1.4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Schritt 1.4.2.3

Potenziere $2$ mit $12$ .

$y = \ln (4096)$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{2} \ln (x^{12}) d x - \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - (x^{2} \ln (x^{3})) d x$

Schritt 3.2

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3})$ als $12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x))$ um.

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.6

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int_{1}^{2} \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x \frac{1}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.9

Wende die Konstantenregel an.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 3.11

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{2}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.12.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.12.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.12.4

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Schritt 3.12.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 3.12.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Schritt 3.12.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Schritt 3.12.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Schritt 3.12.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Schritt 3.13

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{2} x^{2} d x))$

Schritt 3.14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Schritt 3.15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.15.1

Vereinfache.

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Schritt 3.15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Schritt 3.15.1.2

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Schritt 3.15.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.15.2.1

Berechne $\ln (x) x$ bei $2$ und $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Schritt 3.15.2.2

Berechne $x$ bei $2$ und $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Schritt 3.15.2.3

Berechne $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Schritt 3.15.2.4

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.15.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$12 (2 \cdot \ln (2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1 \cdot 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{\ln (2) \cdot 8}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \cdot \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.8

Mutltipliziere $\ln (1)$ mit $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8 - 1}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.12

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{7}{3}}{3})$

Schritt 3.15.2.5.13

Schreibe $\frac{\frac{7}{3}}{3}$ als ein Produkt um.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}))$

Schritt 3.15.2.5.14

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{3 \cdot 3})$

Schritt 3.15.2.5.15

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16

Vereinfache.

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Schritt 3.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.16.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.16.1.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$12 (2 \ln (2) + 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.2

Addiere $2 \ln (2)$ und $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (2 \ln (2)) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 \ln (2) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - \ln (1)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Schritt 3.16.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.16.1.7.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Schritt 3.16.1.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Schritt 3.16.1.8

Addiere $8 \ln (2)$ und $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Schritt 3.16.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$24 \ln (2) - 12 - 3 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.16.1.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$24 \ln (2) - 12 + 3 (- 1) \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 \ln (2) - 12 + 3 \cdot - 1 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$24 \ln (2) - 12 - (8 \ln (2)) - 3 (- \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.12

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (- \frac{7}{9})$

Schritt 3.16.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.16.1.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{9}$ in den Zähler.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (\frac{- 7}{9})$

Schritt 3.16.1.13.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 (- 1) \frac{- 7}{9}$

Schritt 3.16.1.13.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.16.1.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.16.1.13.5

Forme den Ausdruck um.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - \frac{- 7}{3}$

Schritt 3.16.1.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.16.1.14.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - - \frac{7}{3}$

Schritt 3.16.1.14.2

Multipliziere $- - \frac{7}{3}$ .

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Schritt 3.16.1.14.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 1 (\frac{7}{3})$

Schritt 3.16.1.14.2.2

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + \frac{7}{3}$

Schritt 3.16.2

Subtrahiere $8 \ln (2)$ von $24 \ln (2)$ .

$16 \ln (2) - 12 + \frac{7}{3}$

Schritt 3.16.3

Um $- 12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) - 12 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 3.16.4

Kombiniere $- 12$ und $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 3.16.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3 + 7}{3}$

Schritt 3.16.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.16.6.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 36 + 7}{3}$

Schritt 3.16.6.2

Addiere $- 36$ und $7$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 29}{3}$

Schritt 3.16.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 \ln (2) - \frac{29}{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Vereinfache $16 \ln (2)$ , indem du $16$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (2^{16}) - \frac{29}{3}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $16$ .

$\ln (65536) - \frac{29}{3}$

Schritt 5