Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2} + 2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 4

Stelle $x^{2}$ und $2$ um.

$\int \frac{1}{2 + x^{2}} d x$

Schritt 5

Schreibe $2$ als ${\sqrt{2}}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ und $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C$ als $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{\sqrt{2}} + C$ um.

$\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{\sqrt{2}} + C$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + C$