Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Addiere $\cos (x) e^{x}$ und $e^{x} \cos (x)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Stelle $\cos (x)$ und $e^{x}$ um.

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $e^{x} \cos (x)$ und $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Schritt 2.4.2

Stelle $\sin (x)$ und $e^{x}$ um.

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Schritt 2.4.3

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Schritt 2.4.4

Addiere $- e^{x} \sin (x)$ und $e^{x} \sin (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

Schritt 2.4.5

Addiere $2 e^{x} \cos (x)$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Schritt 3.2

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$