Analysis Beispiele

$y = x {(2 x + 3)}^{5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x + 3)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{5}] + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \cdot 2) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \cdot 1$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere ${(2 x + 3)}^{5}$ mit $1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{4}$ aus $x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{4}$ aus $x (10 {(2 x + 3)}^{4})$ heraus.

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{5}$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{4}$ aus ${(2 x + 3)}^{5}$ heraus.

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{4}$ aus ${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$ heraus.

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10) + 2 x + 3)$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

${(2 x + 3)}^{4} (10 \cdot x + 2 x + 3)$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $10 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = {(2 x + 3)}^{4} (12 x + 3)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 x + 3)}^{4}$ und $g (x) = 12 x + 3$ .

${(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [12 x + 3] + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.2.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + 0) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $12$ und $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} \cdot 12 + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$12 \cdot {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $12 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 \cdot (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.4.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 8 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (8 (12 x) + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{3}$ aus $12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{3}$ aus $12 {(2 x + 3)}^{4}$ heraus.

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Schritt 2.5.4.2

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{3}$ aus $(96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ heraus.

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$

Schritt 2.5.4.3

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{3}$ aus ${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$ heraus.

$f'' (x) = {(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3) + 96 x + 24)$