Analysis Beispiele

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x + 4)}^{2}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{2}$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{4}$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.10.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.10.4

Kombiniere $4$ und $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 16$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (4)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.5

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.7

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 3.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere ${(x + 4)}^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere ${(x + 4)}^{2}$ aus ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere ${(x + 4)}^{2}$ aus ${(x + 4)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere ${(x + 4)}^{2}$ aus $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere ${(x + 4)}^{2}$ aus ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere ${(x + 4)}^{2}$ aus ${(x + 4)}^{6}$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.10.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{4 x + 4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.3.1.3

Multipliziere $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

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Schritt 3.11.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.3.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.3.2

Subtrahiere $12 x$ von $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 16 + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.3.3

Addiere $16$ und $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.4

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 64$ heraus.

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Schritt 3.11.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.4.2

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 8 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (8)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.6

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 8)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.8

Schreibe $- (x - 8)$ als $- 1 (x - 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.11.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Schritt 3.11.11

Mutltipliziere $\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Schritt 5.1.2

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 5.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere ${(x + 4)}^{2}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 5.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.5.2

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ heraus.

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Schritt 5.1.5.2.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{2}$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.5.2.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.5.2.3

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 5.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{4}$ heraus.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.10.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.10.4

Kombiniere $4$ und $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11

Vereinfache.

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Schritt 5.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 16$ heraus.

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Schritt 5.1.11.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.3.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (4)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.5

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.7

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.1.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x - 4) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 4) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 4) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 4$ durch $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8^{4}}$

Schritt 10.2.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{4096}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$\frac{- 32}{4096}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $4096$ .

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $32$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{32 (- 1)}{4096}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.2.1

Faktorisiere $32$ aus $4096$ heraus.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Schritt 10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Schritt 10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{128}$

Schritt 10.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{128}$

Schritt 11

$x = 4$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (4) = \frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.2.1

Addiere $4$ und $4$ .

$f (4) = \frac{16}{8^{2}}$

Schritt 12.2.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{16}{64}$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $64$ .

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Schritt 12.2.3.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$f (4) = \frac{16 (1)}{64}$

Schritt 12.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Schritt 12.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4) = \frac{1}{4}$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{4})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14