Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 9$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 9$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Schritt 3

Berechne $f (9)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = \sqrt{9}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$(\sqrt{9})$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$\sqrt{9}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 4.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Schritt 4.3.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Schritt 6.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Schritt 6.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Schritt 6.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Schritt 6.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 6.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 7