Analysis Beispiele

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $r^{2} \cos (2 θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Schritt 1.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Schritt 1.1.2.2

Stelle um.

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Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Schritt 1.1.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Schritt 1.1.3

Schreibe $- 1 r^{2}$ als $- r^{2}$ um.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Schritt 2

Da $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ist, ersetze $\cos (θ)$ durch $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Schritt 3

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4

Schreibe in der Standardform.

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Schritt 4.1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ mit $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ mit $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ als $x^{2} + y^{2}$ um.

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Schritt 4.1.1.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.3.6.5

Vereinfache.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ an.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.4.2

Wende die Produktregel auf $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ an.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.5

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ als $x^{2} + y^{2}$ um.

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Schritt 4.1.1.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.5.5

Vereinfache.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + y^{2}$ und ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1.6.1

Faktorisiere $x^{2} + y^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ heraus.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1.1.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + y^{2}$ aus ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ heraus.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.7

Mutltipliziere $2 x^{2} + 2 y^{2}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.8

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.9.2

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Schritt 4.1.1.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Schritt 4.1.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Schritt 4.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 4.1.3.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.3.1.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Schritt 4.1.3.3.1.3

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Schritt 4.1.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Schritt 4.1.5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Schritt 4.1.5.1.2

Stelle $- 1^{2}$ und $x^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 4.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.1.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.1.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.1.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 4.3

Die Standardform ist $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5