Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) \cos (x) + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Addiere $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ und $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1.1.4.2

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1.1.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.1.4.4

Multipliziere $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 1.1.4.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \cos (x)$ neu an.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.5.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.5.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.6.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.4.6.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.6.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.4.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Schritt 1.1.4.6.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.4.6.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 1.1.4.6.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 1.1.4.6.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.1.4.6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1.1.4.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\cos (2 x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.6.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.6.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \cos (2 x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Schritt 5.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Schritt 5.3

Bei $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ ist die Ableitung $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Schritt 6.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Schritt 6.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ ist die Ableitung $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$

Schritt 8