Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{1 + x}$ , $a = 0$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 0$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Schritt 3

Berechne $f (0)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{1 + 0}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{1 + 0}$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{1 + 0}$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\sqrt[3]{1}$

Schritt 3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $0$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt[3]{1 + x}$ .

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.7.3

Bringe ${(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Schritt 4.1.12

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 1 + \frac{1}{3} (x - 0)$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $0$ von $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{1}{3} x$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{x}{3}$

Schritt 7