Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 3 x}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Stelle $8$ und $- 3 x$ um.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 x + 8}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Schritt 1.2.2

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + \frac{d}{d x} [11]}$

Schritt 3.8

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + 0}$

Schritt 3.9

Addiere $18 x$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{18 x}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{3 (6 x)}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot - 1}{3 (6 x)}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{6 x}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{x}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{- 1}{x}$ $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $0$ .

$0$