Analysis Beispiele

$\frac{36}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{36}{{(2 x + 1)}^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{36}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{36}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Schritt 4

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $36$ aus dem Integral.

$36 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$36 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$36 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$36 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$36 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $36$ .

$\frac{36}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 8.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 8.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 8.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 8.1.2.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$18 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$18 \int u^{- 3} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$18 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$18 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$18 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$- 18 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{- 18}{2 u^{2}} + C$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

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Schritt 10.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 9}{2 u^{2}} + C$

Schritt 10.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 9}{2 (u^{2})} + C$

Schritt 10.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 9}{2 u^{2}} + C$

Schritt 10.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9}{u^{2}} + C$

Schritt 10.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{u^{2}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$- \frac{9}{{(2 x + 1)}^{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{36}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{9}{{(2 x + 1)}^{2}} + C$