Analysis Beispiele

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 5.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

Schritt 6

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Schritt 6.2

Stelle $x^{\frac{2}{3}}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Schritt 6.3

Stelle $x^{\frac{2}{3}}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

Schritt 6.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

Schritt 6.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

Schritt 6.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

Schritt 6.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Schritt 6.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

Schritt 6.10

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$