Analysis Beispiele

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 2 x$ .

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.2.3

Addiere $2$ und $3$ .

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.4.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $12 x^{3}$ von $- 4 x^{3}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{5}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$30 x^{4} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x^{4}$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $30$ .

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$120 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 48$ .

$120 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$120 x^{3} - 96 x + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $120 x^{3} - 96 x$ und $0$ .

$f''' (x) = 120 x^{3} - 96 x$