Analysis Beispiele

$y = \cos (\sin (3 θ))$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = \sin (3 θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sin (3 θ)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\sin (3 θ)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 θ)$ .

$- \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (3 θ)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = 3 θ$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 θ$ .

$- \sin (\sin (3 θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [3 θ])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- \sin (\sin (3 θ)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [3 θ])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 θ$ .

$- \sin (\sin (3 θ)) (\cos (3 θ) \frac{d}{d θ} [3 θ])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $3 θ$ nach $θ$ gleich $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \sin (\sin (3 θ)) \cos (3 θ) (3 \frac{d}{d θ} [θ])$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sin (\sin (3 θ)) \cos (3 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \sin (\sin (3 θ)) \cos (3 θ) \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 \sin (\sin (3 θ)) \cos (3 θ)$

Schritt 1.3.4.2

Stelle die Faktoren von $- 3 \sin (\sin (3 θ)) \cos (3 θ)$ um.

$f' (θ) = - 3 \cos (3 θ) \sin (\sin (3 θ))$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \cos (3 θ) \sin (\sin (3 θ))$ nach $θ$ gleich $- 3 \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ) \sin (\sin (3 θ))]$ .

$- 3 \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ) \sin (\sin (3 θ))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \cos (3 θ)$ und $g (θ) = \sin (\sin (3 θ))$ .

$- 3 (\cos (3 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (\sin (3 θ))] + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = \sin (3 θ)$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 θ)$ .

$- 3 (\cos (3 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sin (3 θ)]) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$- 3 (\cos (3 θ) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\sin (3 θ)]) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 θ)$ .

$- 3 (\cos (3 θ) (\cos (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (3 θ)]) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = 3 θ$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 θ$ .

$- 3 (\cos (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [3 θ]) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- 3 (\cos (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [3 θ]) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 θ$ .

$- 3 (\cos (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) (\cos (3 θ) \frac{d}{d θ} [3 θ]) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\cos (3 θ)$ mit $1$ .

$- 3 (\cos^{1} (3 θ) \cos (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [3 θ] + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.6

Potenziere $\cos (3 θ)$ mit $1$ .

$- 3 (\cos^{1} (3 θ) \cos^{1} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [3 θ] + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 ({\cos (3 θ)}^{1 + 1} \cos (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [3 θ] + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.8

Differenziere.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 3 (\cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [3 θ] + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.8.2

Da $3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $3 θ$ nach $θ$ gleich $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 3 (\cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) (3 \frac{d}{d θ} [θ]) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (\cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) (3 \cdot 1) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 3 (\cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) \cdot 3 + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.8.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ))$ .

$- 3 (3 \cdot (\cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ))) + \sin (\sin (3 θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (3 θ)])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = 3 θ$ .

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Schritt 2.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $3 θ$ .

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + \sin (\sin (3 θ)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d θ} [3 θ]))$

Schritt 2.9.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + \sin (\sin (3 θ)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d θ} [3 θ]))$

Schritt 2.9.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $3 θ$ .

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + \sin (\sin (3 θ)) (- \sin (3 θ) \frac{d}{d θ} [3 θ]))$

Schritt 2.10

Differenziere.

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Schritt 2.10.1

Da $3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $3 θ$ nach $θ$ gleich $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + \sin (\sin (3 θ)) (- \sin (3 θ) (3 \frac{d}{d θ} [θ])))$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + \sin (\sin (3 θ)) (- 3 \sin (3 θ) \frac{d}{d θ} [θ]))$

Schritt 2.10.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + \sin (\sin (3 θ)) (- 3 \sin (3 θ) \cdot 1))$

Schritt 2.10.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + \sin (\sin (3 θ)) (- 3 \sin (3 θ)))$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (3 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ))) - 3 (\sin (\sin (3 θ)) (- 3 \sin (3 θ)))$

Schritt 2.11.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.11.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 (\cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ))) - 3 (\sin (\sin (3 θ)) (- 3 \sin (3 θ)))$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos^{2} (3 θ) \cos (\sin (3 θ)) + 9 \sin (\sin (3 θ)) \sin (3 θ)$