Analysis Beispiele

$x^{2} - x - \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} - x - \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Schritt 2.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{1}{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.1.2.5.2

Addiere $2 + \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2.5.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

Schritt 2.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 2.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ mit $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = - 2 x^{2}$

Schritt 2.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{2} = 1$ um.

$- 2 x^{2} = 1$

Schritt 2.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.5.4.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 2.2.5.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 2.2.5.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 2.2.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 2.2.5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.2.5.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.2.5.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.2.5.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.5.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2.5.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.5.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.5.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.5.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.5.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.5.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.2.5.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

Schritt 5.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6