Analysis Beispiele

$y^{2} - x^{3} = 28$ ; $(2, - 6)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (28)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 y y' - (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 y y' - 3 x^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 2 y y'$

Schritt 3

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 x^{2} + 2 y y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2}$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 3 x^{2}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Schritt 7

Ersetze $x$ durch $2$ und $y$ durch $- 6$ in dem Ausdruck.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 {(2)}^{2}}{2 (- 6)}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $- 6$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(2)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 ({(2)}^{2})}{2 (- 6)}$

Schritt 8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 (- 6)$ heraus.

$\frac{3 ({(2)}^{2})}{3 (2 \cdot (- 2))}$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(2)}^{2}}{3 (2 \cdot (- 2))}$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(2)}^{2}}{2 \cdot (- 2)}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(2)}^{2}$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (- 2)}$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot (- 2)$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (- 2)}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- 2}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{- 2}$

Schritt 8.3.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$