Analysis Beispiele

$y = x^{4} + 9 e^{x}$ , $(0, 9)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 9$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 9 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 e^{x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 9 e^{x}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 9 e^{0}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 + 9 e^{0}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 9 e^{0}$

Schritt 1.4.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 9 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$0 + 9$

Schritt 1.4.2

Addiere $0$ und $9$ .

$9$

Schritt 2

Die Normalenlinie steht senkrecht zur Tangentenlinie. Nehme den negativen Kehrwert der Steigung der Tangentenlinie, um die Steigung der Normalen zu finden.

$- \frac{1}{9}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{9}$ und einen gegebenen Punkt $(0, 9)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (9) = - \frac{1}{9} \cdot (x - (0))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot x$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{9}$ .

$y - 9 = - \frac{x}{9}$

Schritt 3.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{9} + 9$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{9} x) + 9$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{9} x + 9$

Schritt 4