Analysis Beispiele

$y = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$9 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $9 x^{2} + 24 x + 16$ und $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $9 x^{2} + 24 x + 16$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$9 x^{2} + 24 x + 16 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

${(3 x)}^{2} + 24 x + 16 = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${(3 x)}^{2} + 24 x + 4^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$24 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 4$

Schritt 2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

${(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 4$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $3 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - 5$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{4}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{4}{3}$ .

$3 {(- \frac{4}{3})}^{3} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (- \frac{4^{3}}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$3 (- \frac{64}{3^{3}}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$3 (- \frac{64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{64}{27}$ in den Zähler.

$3 (\frac{- 64}{27}) + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 \frac{- 64}{3 (9)} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{- 64}{3 \cdot 9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64}{9} + 12 {(- \frac{4}{3})}^{2} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$- \frac{64}{9} + 12 ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (1 \frac{4^{2}}{3^{2}}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 \frac{16}{3^{2}} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{64}{9} + 12 (\frac{16}{9}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.12.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$- \frac{64}{9} + 3 (4) \frac{16}{9} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.12.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{64}{9} + 3 \cdot 4 \frac{16}{3 \cdot 3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.12.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{64}{9} + 4 (\frac{16}{3}) + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.13

Kombiniere $4$ und $\frac{16}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{4 \cdot 16}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.14

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 16 (- \frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.15

Multipliziere $16 (- \frac{4}{3})$ .

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Schritt 4.1.2.1.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - 16 (\frac{4}{3}) - 5$

Schritt 4.1.2.1.15.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 16 \cdot 4}{3} - 5$

Schritt 4.1.2.1.15.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + \frac{- 64}{3} - 5$

Schritt 4.1.2.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - \frac{64}{3} - 5$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{64 - 64}{3}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$- 5 + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Schritt 4.1.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.3.1

Schreibe $- 5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 5}{1} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 5}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Schritt 4.1.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 5}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3}$

Schritt 4.1.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{0}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.1.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{0}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{9} + \frac{- 64}{9} + \frac{0 \cdot 3}{9}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 \cdot 9 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0 \cdot 3}{9}$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{- 45 - 64 + 0}{9}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.6.1

Subtrahiere $64$ von $- 45$ .

$\frac{- 109 + 0}{9}$

Schritt 4.1.2.6.2

Addiere $- 109$ und $0$ .

$\frac{- 109}{9}$

Schritt 4.1.2.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{109}{9}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{109}{9})$

Schritt 5