Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Stelle $x$ und $- x^{3}$ um.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

Schritt 1.3.2

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

Schritt 3.8

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $14$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Schritt 5

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 3 + 0$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

Schritt 10.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

Schritt 10.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

Schritt 10.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ heraus.

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Schritt 10.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Schritt 10.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

Schritt 10.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$14 (\frac{0}{- 1})$

Schritt 10.3

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$14 \cdot 0$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $14$ mit $0$ .

$0$