Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 2.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.4.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.4.5.2

Mutltipliziere ${(x - 2)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2} x$ aus $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1.1.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2} x$ aus $2 {(x - 2)}^{3} x$ heraus.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5.1.1.2

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2} x$ aus $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5.1.1.3

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2} x$ aus ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ heraus.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5.1.4

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 2)}^{2}$ und ${(x - 2)}^{6}$ .

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Schritt 2.1.5.2.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ heraus.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 2.1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.5.2.2.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.6

Schreibe $- (x + 4)$ als $- 1 (x + 4)$ um.

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (x + 4) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 4$ .

$0, - 4$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{4} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $- 7$ mit $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $- \frac{5}{2401}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

Schritt 8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $256$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Schritt 8.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Schritt 8.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

Schritt 8.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Schritt 8.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $\frac{1}{64}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $1 + 4$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

Schritt 9.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.3.1

Addiere $1$ und $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

Schritt 9.2.3.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

Schritt 9.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (1) = - 5$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 9.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 5$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Addiere $3$ und $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

Schritt 10.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

Schritt 10.2.3.2

Dividiere $21$ durch $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

Schritt 10.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $21$ .

$f' (3) = - 21$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 21$ .

$- 21$

Schritt 10.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- 21$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 4, 0)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

Schritt 12