Analysis Beispiele

$2 x - 2 \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $2 x - 2 \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = - 2$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 2$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$\sin (x) = - 1$

Schritt 3.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 3.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 3.6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 3.7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.8

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.9

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.9.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 3.9.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.9.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 3.9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.10

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ .

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Schritt 6.4

Bei $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ ist die Ableitung $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ .

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Schritt 7.4

Bei $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ ist die Ableitung $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Schritt 9