Analysis Beispiele

$y = 8 \csc (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \csc (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren von $- 8 \csc (x) \cot (x)$ um.

$f' (x) = - 8 \cot (x) \csc (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \cot (x) \csc (x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \csc (x)$ .

$- 8 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 8 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 8 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.8

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Schritt 2.9

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $2$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Schritt 2.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Schritt 2.12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 \csc (x) \cot^{2} (x) + 8 \csc^{3} (x)$

Schritt 2.12.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 8 \cot^{2} (x) \csc (x) + 8 \csc^{3} (x)$