Analysis Beispiele

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Ersetze alle $x$ in $y^{2} = 2 x$ durch $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

Schritt 1.2

Löse in $y^{2} = 4 y$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - 4 y$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y$ heraus.

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y \cdot - 4$ heraus.

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.4

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.5

Setze $y - 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $y - 4$ gleich $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (y - 4) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

Schritt 1.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = 2 y$ durch $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 2 y$ durch $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

Schritt 2

Löse $y^{2} = 2 x$ bezüglich $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x = y^{2}$ um.

$2 x = y^{2}$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = y^{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = y^{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $4$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

Schritt 4.2

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Schritt 4.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Schritt 4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Schritt 4.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

Schritt 4.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Schritt 4.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Schritt 4.10.2

Berechne $\frac{1}{3} y^{3}$ bei $4$ und $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3

Vereinfache.

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Schritt 4.10.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 4.10.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.10.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.6

Addiere $8$ und $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.8

Potenziere $4$ mit $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 4.10.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Schritt 4.10.3.11

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Schritt 4.10.3.12

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

Schritt 4.10.3.13

Addiere $\frac{64}{3}$ und $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Schritt 4.10.3.14

Mutltipliziere $\frac{64}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.10.3.15

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

Schritt 4.10.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $6$ .

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Schritt 4.10.3.16.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

Schritt 4.10.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.3.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.10.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.10.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 - \frac{32}{3}$

Schritt 4.10.3.17

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Schritt 4.10.3.18

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Schritt 4.10.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Schritt 4.10.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.3.20.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

Schritt 4.10.3.20.2

Subtrahiere $32$ von $48$ .

$\frac{16}{3}$

Schritt 5