Analysis Beispiele

$7 x \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [7 x \cdot x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x)]$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x^{1})]$

Schritt 1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + 1}]$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 3}{3}}]$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Schritt 1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$7 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.10

Kombiniere $7$ und $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{28}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{28}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Schritt 2.10.2

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{28}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{28}{9}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{28 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{9 \cdot 3}$

Schritt 3.11

Multipliziere.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $28$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{9 \cdot 3}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{27}$

Schritt 3.11.3

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{56}{27 x^{\frac{5}{3}}}$