Analysis Beispiele

$\frac{x - \sqrt{x}}{3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x - \sqrt{x}}{3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x - \sqrt{x}}{3}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x - \sqrt{x}}{3} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int x - \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int x d x + \int - \sqrt{x} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \sqrt{x} d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sqrt{x} d x)$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x - \sqrt{x}}{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$