Analysis Beispiele

$y = \sec (x) \csc (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \csc (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \cot (x) \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x) \csc (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.4

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.6

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.7

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.8

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.11

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2.13

Addiere $1$ und $2$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \csc (x) \sec (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

Schritt 2.3.3

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.6

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.6.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec (x)$ .

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Schritt 2.3.6.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 1 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x)) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 (\sec (x) (\csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.4

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.5

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.4.4.9

Stelle die Faktoren von $\tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$ um.

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 2.4.4.10

Subtrahiere $\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ von $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$

Schritt 2.4.5

Stelle die Terme um.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$

Schritt 2.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.6.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \csc (x) \sec (x)$

Schritt 2.4.6.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 2.4.6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.4.6.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 2.4.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 2.4.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \sec (x)$

Schritt 2.4.6.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \sec (x)$

Schritt 2.4.6.6

Separiere Brüche.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

Schritt 2.4.6.7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) \sec (x)$

Schritt 2.4.6.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \tan (x) \sec (x)$

Schritt 2.4.6.9

Multipliziere $\sec (x) \tan (x) \sec (x)$ .

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Schritt 2.4.6.9.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 2.4.6.9.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)$

Schritt 2.4.6.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Schritt 2.4.6.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{2} (x) \tan (x)$