Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{9 x^{2} + 16}{9 x^{2} - 16}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 9 x^{2} + 16$ und $g (x) = 9 x^{2} - 16$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 16] - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (18 x + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $18 x$ und $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (18 x) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Bringe $18$ auf die linke Seite von $9 x^{2} - 16$ .

$\frac{18 \cdot (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (18 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (18 x + 0)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.12.1

Addiere $18 x$ und $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (18 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.12.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - 18 (9 x^{2} + 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(18 (9 x^{2}) + 18 \cdot - 16) x - 18 (9 x^{2} + 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2} + 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 16 x + (- 18 (9 x^{2}) - 18 \cdot 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 (9 (x \cdot x^{2})) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.5.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 (9 (x^{1} x^{2})) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 (9 x^{1 + 2}) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{18 (9 x^{3}) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $18$ .

$\frac{162 x^{3} + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 16$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.5.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 (x \cdot x^{2})) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.5.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 (x^{1} x^{2})) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 x^{1 + 2}) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 x^{3}) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 18$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 162 x^{3} - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.6

Mutltipliziere $- 18$ mit $16$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 162 x^{3} - 288 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $162 x^{3} - 288 x - 162 x^{3} - 288 x$ .

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Schritt 1.1.3.5.2.1

Subtrahiere $162 x^{3}$ von $162 x^{3}$ .

$\frac{- 288 x + 0 - 288 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2.2

Addiere $- 288 x$ und $0$ .

$\frac{- 288 x - 288 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.3

Subtrahiere $288 x$ von $- 288 x$ .

$\frac{- 576 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{576 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.7.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$- \frac{576 x}{{({(3 x)}^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{576 x}{{({(3 x)}^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 4$ .

$- \frac{576 x}{{((3 x + 4) (3 x - 4))}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.4

Wende die Produktregel auf $(3 x + 4) (3 x - 4)$ an.

$f' (x) = - \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$576 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $576 x = 0$ durch $576$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $576 x = 0$ durch $576$ .

$\frac{576 x}{576} = \frac{0}{576}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $576$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{576 x}{576} = \frac{0}{576}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{576}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $576$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

${(3 x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze ${(3 x + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Setze ${(3 x + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Löse ${(3 x + 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.2.1

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3

Setze ${(3 x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(3 x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(3 x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(3 x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - \frac{4}{3}, x = \frac{4}{3}$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{4}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.3333334$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{576 (- 2.3333334)}{{(3 (- 2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $576$ mit $- 2.3333334$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(3 (- 2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2.3333334$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 7.0000002 + 4)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 7.0000002$ und $4$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 3.0000002)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2.3333334$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 3.0000002)}^{2} {(- 7.0000002 - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $- 7.0000002$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 3.0000002)}^{2} {(- 11.0000002)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $- 3.0000002$ mit $2$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{9.0000012 {(- 11.0000002)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $- 11.0000002$ mit $2$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{9.0000012 \cdot 121.0000044}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $9.0000012$ mit $121.0000044$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{1089.0001848}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $- 1344.0000384$ durch $1089.0001848$ .

$f' (- 2.3333334) = 1.2341596$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.2341596$ .

$f' (- 2.3333334) = 1.2341596$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $1.2341596$ .

$1.2341596$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2.3333334$ ist die Ableitung $1.2341596$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{4}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{4}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.3333334, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.6666667$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{576 (- 0.6666667)}{{(3 (- 0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $576$ mit $- 0.6666667$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{(3 (- 0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.6666667$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{(- 2.0000001 + 4)}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 2.0000001$ und $4$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{1.9999999}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.6666667$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{1.9999999}^{2} {(- 2.0000001 - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $- 2.0000001$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{1.9999999}^{2} {(- 6.0000001)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $1.9999999$ mit $2$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{3.9999996 {(- 6.0000001)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Potenziere $- 6.0000001$ mit $2$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{3.9999996 \cdot 36.0000012}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $3.9999996$ mit $36.0000012$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{143.9999904}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $- 384.0000192$ durch $143.9999904$ .

$f' (- 0.6666667) = 2.66666697$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2.66666697$ .

$f' (- 0.6666667) = 2.66666697$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $2.66666697$ .

$2.66666697$

Schritt 7.3

Bei $x = - 0.6666667$ ist die Ableitung $2.66666697$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1.3333334, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{4}{3}, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{4}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.6666667$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{576 (0.6666667)}{{(3 (0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $576$ mit $0.6666667$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{(3 (0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0.6666667$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{(2.0000001 + 4)}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $2.0000001$ und $4$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{6.0000001}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0.6666667$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{6.0000001}^{2} {(2.0000001 - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $2.0000001$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{6.0000001}^{2} {(- 1.9999999)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Potenziere $6.0000001$ mit $2$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{36.0000012 {(- 1.9999999)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Potenziere $- 1.9999999$ mit $2$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{36.0000012 \cdot 3.9999996}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $36.0000012$ mit $3.9999996$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{143.9999904}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $384.0000192$ durch $143.9999904$ .

$f' (0.6666667) = - 1 \cdot 2.66666697$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.66666697$ .

$f' (0.6666667) = - 2.66666697$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.66666697$ .

$- 2.66666697$

Schritt 8.3

Bei $x = 0.6666667$ ist die Ableitung $- 2.66666697$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \frac{4}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \frac{4}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{4}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.3333334$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{576 (2.3333334)}{{(3 (2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $576$ mit $2.3333334$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{(3 (2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2.3333334$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{(7.0000002 + 4)}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $7.0000002$ und $4$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{11.0000002}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2.3333334$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{11.0000002}^{2} {(7.0000002 - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $7.0000002$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{11.0000002}^{2} \cdot {3.0000002}^{2}}$

Schritt 9.2.2.5

Potenziere $11.0000002$ mit $2$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{121.0000044 \cdot {3.0000002}^{2}}$

Schritt 9.2.2.6

Potenziere $3.0000002$ mit $2$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{121.0000044 \cdot 9.0000012}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.3.1

Mutltipliziere $121.0000044$ mit $9.0000012$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{1089.0001848}$

Schritt 9.2.3.2

Dividiere $1344.0000384$ durch $1089.0001848$ .

$f' (2.3333334) = - 1 \cdot 1.2341596$

Schritt 9.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.2341596$ .

$f' (2.3333334) = - 1.2341596$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1.2341596$ .

$- 1.2341596$

Schritt 9.3

Bei $x = 2.3333334$ ist die Ableitung $- 1.2341596$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{4}{3}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{4}{3}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \frac{4}{3}), (- \frac{4}{3}, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, \frac{4}{3}), (\frac{4}{3}, \infty)$

Schritt 11