Analysis Beispiele

$H (θ) = θ \sin (θ)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = θ$ und $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$f' (θ) = θ \cos (θ) + \sin (θ)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $θ \cos (θ) + \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$ .

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Schritt 2.2.1

$θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \cos (θ)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $\cos (θ)$ und $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + 2 \cos (θ)$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (θ) = - θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [- θ \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [- θ \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d θ} [- θ \sin (θ)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- θ \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- \frac{d}{d θ} [θ \sin (θ)]$ .

$- \frac{d}{d θ} [θ \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$

Schritt 3.2.2

$- (θ \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]) + \frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$- (θ \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]) + \frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (θ \cos (θ) + \sin (θ) \cdot 1) + \frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$- (θ \cos (θ) + \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$- (θ \cos (θ) + \sin (θ)) + 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$- (θ \cos (θ) + \sin (θ)) + 2 (- \sin (θ))$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (θ \cos (θ) + \sin (θ)) - 2 \sin (θ)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (θ \cos (θ)) - \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2 \sin (θ)$ von $- \sin (θ)$ .

$f''' (θ) = - θ \cos (θ) - 3 \sin (θ)$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $H (θ)$ nach $θ$ ist $- θ \cos (θ) - 3 \sin (θ)$ .

$- θ \cos (θ) - 3 \sin (θ)$