Analysis Beispiele

$\frac{c x - d}{a x - b}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ gleich $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ ist mit $f (c) = c x - d$ und $g (c) = a x - b$ .

$\frac{(a x - b) \frac{d}{d c} [c x - d] - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $c x - d$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [- d]$ .

$\frac{(a x - b) (\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d c} [c x]$ .

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Schritt 3.1

Da $x$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $c x$ nach $c$ gleich $x \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(a x - b) (x \frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ gleich $n c^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) (x \cdot 1 + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(a x - b) (x + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- d$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $- d$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$\frac{(a x - b) (x + 0) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x - b$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [- b]$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) (\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $a x$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $a x$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) (0 + \frac{d}{d c} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $- b$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $- b$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) (0 + 0)}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 4.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x \cdot x - b x - (c x - d) \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x \cdot x - b x + (- (c x) - - d) \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x \cdot x - b x - (c x) \cdot 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{a (x \cdot x) - b x - (c x) \cdot 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{a x^{2} - b x - (c x) \cdot 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $- c x \cdot 0$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 c x - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $c$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 x - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Multipliziere $- - d$ .

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Schritt 5.4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 + 1 d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3.2

Mutltipliziere $d$ mit $1$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 + d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $d$ mit $0$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 + 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a x^{2} - b x + 0 + 0$ .

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $a x^{2} - b x$ und $0$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $a x^{2} - b x$ und $0$ .

$\frac{a x^{2} - b x}{{(a x - b)}^{2}}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} a - b x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} a - b x$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} a$ heraus.

$\frac{x (x a) - b x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- b x$ heraus.

$\frac{x (x a) + x (- b)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x a) + x (- b)$ heraus.

$\frac{x (x a - b)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x a - b$ und ${(- b + a x)}^{2}$ .

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Schritt 5.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x (- b + a x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Schritt 5.7.2

Faktorisiere $- b + a x$ aus $x (- b + a x)$ heraus.

$\frac{(- b + a x) x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Schritt 5.7.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.3.1

Faktorisiere $- b + a x$ aus ${(- b + a x)}^{2}$ heraus.

$\frac{(- b + a x) x}{(- b + a x) (- b + a x)}$

Schritt 5.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- b + a x) x}{(- b + a x) (- b + a x)}$

Schritt 5.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{- b + a x}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$\frac{x}{- (b) + a x}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $a x$ heraus.

$\frac{x}{- (b) - (- a x)}$

Schritt 5.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - (- a x)$ heraus.

$\frac{x}{- (b - a x)}$

Schritt 5.11

Schreibe $- (b - a x)$ als $- 1 (b - a x)$ um.

$\frac{x}{- 1 (b - a x)}$

Schritt 5.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{b - a x}$