Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Schritt 1.2

Da der Exponent $x^{2}$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x^{2}}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{x^{2}}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x^{3}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x^{3}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{x^{2}}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{2 x^{3}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{x (2 x^{2})}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{x (2 x^{2})}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Da der Exponent $x^{2}$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x^{2}}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Schritt 5.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 5.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 (2 x)}$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{x^{2}}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x}$

Schritt 5.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Schritt 5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Schritt 5.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Schritt 5.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2}$

Schritt 6

Da die Funktion $e^{x^{2}}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $\frac{1}{2}$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 6.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $\frac{1}{2}$ entfernt.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

Schritt 6.2

Da der Exponent $x^{2}$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x^{2}}$ $\infty$ an.

$\infty$