Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} {(14 + x)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(14 + x)}^{2}$ als $(14 + x) (14 + x)$ um.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} ((14 + x) (14 + x))]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(14 + x) (14 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 (14 + x) + x (14 + x))]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x (14 + x))]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $14$ mit $14$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 \cdot x + x \cdot x)]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 x + x^{2})]$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $14 x$ und $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [196 + 28 x + x^{2}] + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6

Differenziere.

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Schritt 1.1.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $196 + 28 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6.2

Da $196$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $196$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [28 x]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6.4

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 x$ nach $x$ gleich $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x^{2} (28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6.6

Mutltipliziere $28$ mit $1$ .

$2 (x^{2} (28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.6.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) (2 x))$

Schritt 1.1.6.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + 2 \cdot (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 196 + 2 (28 x) + 2 x^{2}) x)$

Schritt 1.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot 196 x + 2 (28 x) x + 2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{2} \cdot 28) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.7.5.1

Bringe $28$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 (28 \cdot x^{2}) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.2

Mutltipliziere $28$ mit $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.5.3.1

Bewege $x$ .

$56 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.7.5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$56 x^{2} + 2 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{3} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$56 x^{2} + 2 (2 \cdot x^{3}) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $196$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (392 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.7

Mutltipliziere $392$ mit $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.8

Mutltipliziere $28$ mit $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x \cdot x) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x)) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x^{1})) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{1 + 1}) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.12

Addiere $1$ und $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{2}) + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.13

Mutltipliziere $56$ mit $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{2} x)$

Schritt 1.1.7.5.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 (x^{1} x^{2}))$

Schritt 1.1.7.5.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{1 + 2})$

Schritt 1.1.7.5.16

Addiere $1$ und $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{3})$

Schritt 1.1.7.5.17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 4 x^{3}$

Schritt 1.1.7.5.18

Addiere $56 x^{2}$ und $112 x^{2}$ .

$168 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 4 x^{3}$

Schritt 1.1.7.5.19

Addiere $4 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$168 x^{2} + 8 x^{3} + 784 x$

Schritt 1.1.7.6

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$8 x (x^{2}) + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $8 x$ aus $168 x^{2}$ heraus.

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 784 x = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $8 x$ aus $784 x$ heraus.

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 8 x (98) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{2}) + 8 x (21 x)$ heraus.

$8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98)$ heraus.

$8 x (x^{2} + 21 x + 98) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 21 x + 98$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $98$ und deren Summe $21$ ist.

$7, 14$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$8 x ((x + 7) (x + 14)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 x (x + 7) (x + 14) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x + 14 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 2.6

Setze $x + 14$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 14$ gleich $0$ .

$x + 14 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 14$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 x (x + 7) (x + 14) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 7, - 14$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 7, - 14$ .

$0, - 7, - 14$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 14) \cup (- 14, - 7) \cup (- 7, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 14)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 15$ .

$f' (- 15) = 8 {(- 15)}^{3} + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 15$ mit $3$ .

$f' (- 15) = 8 \cdot - 3375 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 3375$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 \cdot 225 + 784 (- 15)$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $168$ mit $225$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 + 784 (- 15)$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $784$ mit $- 15$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 - 11760$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 27000$ und $37800$ .

$f' (- 15) = 10800 - 11760$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $11760$ von $10800$ .

$f' (- 15) = - 960$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 960$ .

$- 960$

Schritt 5.3

Bei $x = - 15$ ist die Ableitung $- 960$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 14)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 14)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 14, - 7)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 {(- \frac{21}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{21}{2}$ an.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{21}{2}$ an.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{21^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{21^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $21$ mit $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9261}{8}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{21}{2}$ an.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{21}{2}$ an.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (1 (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{21^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.9

Potenziere $21$ mit $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.11.1

Faktorisiere $4$ aus $168$ heraus.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 (42) (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 \cdot (42 (\frac{441}{4})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 42 \cdot 441 + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.12

Mutltipliziere $42$ mit $441$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (- \frac{21}{2})$

Schritt 6.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{21}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (\frac{- 21}{2})$

Schritt 6.2.1.13.2

Faktorisiere $2$ aus $784$ heraus.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 (392) (\frac{- 21}{2})$

Schritt 6.2.1.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 \cdot (392 (\frac{- 21}{2}))$

Schritt 6.2.1.13.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 392 \cdot - 21$

Schritt 6.2.1.14

Mutltipliziere $392$ mit $- 21$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 - 8232$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 9261$ und $18522$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 9261 - 8232$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $8232$ von $9261$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 1029$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1029$ .

$1029$

Schritt 6.3

Bei $x = - \frac{21}{2}$ ist die Ableitung $1029$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 14, - 7)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 14, - 7)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 7, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 7.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{343}{8}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.11.1

Faktorisiere $4$ aus $168$ heraus.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 (42) (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 \cdot (42 (\frac{49}{4})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 42 \cdot 49 + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.12

Mutltipliziere $42$ mit $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (- \frac{7}{2})$

Schritt 7.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (\frac{- 7}{2})$

Schritt 7.2.1.13.2

Faktorisiere $2$ aus $784$ heraus.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 (392) (\frac{- 7}{2})$

Schritt 7.2.1.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 \cdot (392 (\frac{- 7}{2}))$

Schritt 7.2.1.13.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 392 \cdot - 7$

Schritt 7.2.1.14

Mutltipliziere $392$ mit $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 - 2744$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 343$ und $2058$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 1715 - 2744$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $2744$ von $1715$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1029$ .

$- 1029$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{7}{2}$ ist die Ableitung $- 1029$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 7, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 7, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Schritt 8.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 8 + 168 \cdot 1 + 784 (1)$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $168$ mit $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784 (1)$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $784$ mit $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $8$ und $168$ .

$f' (1) = 176 + 784$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $176$ und $784$ .

$f' (1) = 960$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $960$ .

$960$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $960$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 14, - 7), (0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 14), (- 7, 0)$

Schritt 10