Analysis Beispiele

$x = \frac{1}{3} {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} = x$

Schritt 2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache ${(\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3})}^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ an.

$\frac{{({(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{1}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache.

$\frac{y^{2} + 2}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.3

Zerlege den Bruch $\frac{y^{2} + 2}{3^{\frac{2}{3}}}$ in zwei Brüche.

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ mit $3^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ mit $3^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} = x$