Analysis Beispiele

$y = 8 \sec (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sec (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 8 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sec (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.4

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$8 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 2.6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Schritt 2.7

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Schritt 2.10.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{3} (x)$