Analysis Beispiele

$f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.7.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ und $5$ .

$\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 1.1.1.7.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 1.1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.1.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{25}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.7.3

Bringe ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 1.1.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{25}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 1.1.2.7.5

Multipliziere.

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Schritt 1.1.2.7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$\frac{50}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 1.1.2.7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.2.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.11.2

Mutltipliziere $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$50 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $50 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$5 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{5}}$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Der Graph ist konvex, da die zweite Ableitung positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 4